一、倍数和几倍
一位刚参加工作的学生告诉我，她与学校的老师对一道选择题产生了争论，问我的意见。题目是：如果a÷b=30，那么：（1）a是b的倍数；（2）a可能是b的倍数。
我回答：根据倍数的定义，如果a，b是整数，那么a是b的倍数，否则不能说a是b的倍数。例如a＝45，b＝1.5，虽然有a÷b＝30，但不能说a是b的倍数，可以说a是b的30倍。说一个数是另一个数的几倍不限于整数，可以是小数、分数，例如，可以说是的3倍。数学就是这样，它的概念必须严格按照定义来使用，容不得半点马虎。
至此问题已经回答完毕。但我又想到，这道题适合小学生做吗？
众所周知，小学生的思维处于具体运算阶段，要依靠具体事物进行思维。数字已属抽象符号，字母则比数字的抽象程度更高一级，是符号的符号。此题没有任何具体情境，只有一个不带单位的数字（不带单位比带单位更抽象），其余都是字母；并且两个选项的逻辑关系也是小学生难以理解的，可以说完全超出了小学生的思维水平。如果改为下面的形式，则比较适合小学生解答：
因为45÷30＝1.5，所以：（1）45是30的倍数；（2）45是30的1.5倍。
至此关于这道题似乎再没有什么可挖掘的了，但由于职业的习惯，我还是翻阅了一下小学数学教材。人教版是用举例的方法说明因数和倍数的概念的：
2×6＝12，2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。
注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。
数论中对因数和倍数的定义则是：
设a，b是整数，b≠0，如果有一个整数c，它使得a=bc，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
如果认真追究一下，那么二者并不只是严谨性和通俗性的不同。首先，数论的研究对象为整数，这并不是“为了方便”，而是因为每一个数学的分支都有其特定的研究范围，而数论的研究范围就是整数。因此，“为了方便”四字是完全不必要的，它们不能增加任何通俗性，反而带来了错误的信息。
其次，数论的定义明确地告诉我们，b一定不能为0，a可以为0。而人教版教材的表述“一般不包括0”，意味着在特殊情况下三个数可以包括0。这就不是是否必要的问题了，而是一个错误。这几个字不但不能增加通俗性，反而使人犯晕：什么是一般？什么是不一般呢？
二、特殊四边形的概念体系
特殊四边形是小学几何知识的主要内容之一，包括长方形、正方形、平行四边形和梯形。这四种图形概念之间的逻辑关系如下表：
它们之间的包含关系如图1所示。
由此可以看到，唯独梯形与其他几种特殊四边形没有包含关系，独处一隅，很不协调。
那么能否将梯形与其他特殊四边形联系起来，并且其定义不使用负概念呢？
如果把梯形定义为“一组对边平行的四边形”，那么平行四边形、长方形、正方形都同时是梯形，其包含关系如图2所示。
显然，这个图显示的包含关系十分协调，给人以美感。数学家有一句话：美即有用，妙在无限。那么这种“协调美”能否给我们带来好处呢？回答是肯定的。首先，规律性越强的知识越容易记忆；其次，这样改变之后，梯形、平行四边形、长方形和正方形的面积公式都可以统一为梯形的面积公式：
S＝（上底+下底）×高÷2
因为这个公式可改写成：
S＝（上底+下底）÷2×高
由于平行四边形、长方形、正方形的对边都相等，所以（上底+下底）÷2就是它们的一边的长，于是它就成了这三种图形的统一的面积公式。
不仅如此，三角形面积公式也可以统一到梯形面积公式上来：这时公式中的上底为0。
因此可以说，将梯形的定义作上述修改，有利而无弊。
但是这里还有一个问题。正方形和邻边不等的长方形是最常见的两种图形，因此，小学低年级首先认识它们，并把前者称为“长方形”，后者称为“正方形”；长方形的面积公式是“长×宽”，正方形的面积公式是“边长×边长”。也就是说，二者是分开的，并没有说长方形包含正方形。学生得到的概念是：长方形的邻边是不等的，正方形是四边相等的。然而到中年级，教材又将正方形包含在长方形中，并画了如图1一样的图。
显然，这是一个矛盾。不仅如此，到高年级，教材又给长方体下了这样的定义：“长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。”这里又把长方形与正方形分开了，于是再次出现前后不一致的矛盾。
如果按图1中长方形与正方形的关系，长方体的定义就只能写作“长方体是由6个邻边不等的长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。”并且凡是提到除正方形之外的长方形，都要说“邻边不等的长方形”，这是很不方便的。儿童初学长方形和正方形时，也需要把它们分开。怎么解决这个问题呢？
其实，只要让“长方形”专指“邻边不等的长方形”而把中学的“矩形”一词用来统称长方形和正方形，问题就完满地解决了。在低年级只出现“长方形”和“正方形”这两个名称，到中年级再引入“矩形”这个名称，这样，几种特殊四边形的关系就变成：
这一逻辑关系很有规律。
相应地也可引入“矩体”的概念，其定义为：由6个矩形围成的立体图形。这样，矩体包括长方体和立方体，就像矩形包含长方形和正方形一样。而长方体的定义为：由6个长方形或4个长方形、2个正方形围成的立体图形。
这一体系既消除了矛盾，又很有规律。
值得提出的是，如果按照图2的分类方法，平行四边形是特殊的梯形了，这与现行的中小学数学教材上关于梯形的定义是矛盾的。有意思的是，有些专家主张采用现行教材上梯形的定义，有些则主张采用图2的形式，没有形成统一的意见。
三、计量单位教学中的几个问题
计量单位是小学数学中“量与计量”的基本知识，是数学联系实际的重要途径。这一知识看起来很简单，但出人意料的是，教学中也存在一些问题。
1.小学数学不能教市制单位吗？
课标中没有涉及这个问题，但实际上我国出版界早已规定在各种出版物中不能使用市制单位，甚至连公里、公斤也不能用，而必须用千米、千克。理由是什么，没有看见什么地方明确说过，但可以想见，不外乎两点：一是统一——公制单位是世界通用的；二是先进——公制单位是近代、现代的产物，当然比千百年前的“老封建”要先进。
但是形成鲜明对比的是，作为公制单位发源地的欧美发达国家，却至今仍在使用本国的市制单位，例如英美两国仍广泛使用英尺、英镑等市制单位，不但民间使用，各种出版物也广泛使用，美国的小学数学教材有专门的章节介绍市制单位。这是为什么呢？也没见什么地方说过，然而理由也不难想见，不外乎两个字：需要。
这种需要有两个层次，第一个层次是生活需要。市制单位在民间广泛使用，不懂就不能理解，不便于交流。例如“斤”这个重量单位，在我国无论是农村还是城市，买菜称米都广泛使用；“亩”这个面积单位，不但农村讲田地面积一律用亩，就是城市讲到土地面积时，包括各种媒体的报道中，一般也用亩。《数学课程标准》强调数学教学要联系生活实际，如果学生连这些生活中广泛使用、媒体上大量报道的计量单位都不懂，怎么谈得上“联系生活实际”？
第二个层次是文化需要。市制单位用了成百上千年，已经成为一个国家传统文化的一部分。举一个简单的例子，中国的成语就有很多涉及市制单位，如：寸步不让，半斤八两，一落千丈，一泻千里，入木三分，分斤掰两，等等，不懂市制单位就会造成理解的障碍。成语是汉语的精华，有悠久的历史，不懂成语，岂非数典忘祖？
2.长度单位的教学重点是什么？
目前主要有两种观点，一种认为重点是经历长度单位形成的过程，体会统一长度单位的必要性；另一种认为重点是初步建立1厘米、1米等单位的长度观念，即在头脑中建立长度单位的表象。持后一种观点的教师要求学生能估计出物体的长度，在教学“千米”时，由于这个单位太大，就在课前布置学生走1000米，记下用了多少时间。然而我们容易看到，要估计出各种物体的长度，必须经历大量的长度测量，积累丰富的实际经验，远不是几节课所能做到的。经历长度单位形成的过程则可以使学生体会到，计量必须有单位，单位是把几个同类量进行比较的标准；没有统一的单位，在计量时就很难相互理解。这些都是重要的数学思考。教师还应使学生懂得，要方便地计量，还必须有大小不同的单位；相邻单位的进率为10时，计算最方便。
3.计量单位应按顺序整体教学还是分步间隔教学？
我国一直是分步间隔教学的，例如长度单位是先学厘米和米，再学毫米、分米和千米。五个单位分两步学习，并且是间隔的，厘米和米之间间隔了一个分米，毫米与分米之间间隔了一个厘米。这样安排出于两个考虑：一是分步学习可以降低难度；二是厘米和米是最常用的。然而，从毫米、厘米到米，相邻两个单位的进率都是10，非常有规律。这样分开后，就破坏了这一规律，也破坏了美感。没有规律，就增加了记忆的难度；失去美感，就降低了学习的兴趣。并且常用并不是绝对的，在工业生产中，常用的是毫米——各种零件的尺寸通常用毫米作单位；各种出版物中常常谈到里程，所以“公里”的出现十分频繁。
由以上分析可以合乎逻辑地得出结论：计量单位的教学首先应使学生懂得“单位”的意义和作用，并把它作为重点；其次，一类计量单位应整体教学，只要求学生能选择合适的单位来表示或计量某一个量，不要求学生作出正确的估计；最后，估计量的大小的能力应该通过在生活中逐步积累经验来培养，当然也可在今后的数学实践活动中有计划地安排计量活动。
（作者单位：湖南第一师范学院，基金项目：湖南省教育科学“十一五”规划重点课题（课题批准号：XJK08AJJ005）；湖南第一师范学院院级课题“小学教师教育数学类专业基础课课程建设研究”）